Sở Giáo dục & Đào tạo Thái Nguyên

chuyên đề
bồi dưỡng học sinh giỏi toán
cấp trung học cơ sở
Người thực hiện: Nguyễn Đức Nghị
Đơn vị công tác: Trường THCS Lương Phú - Phú Bình

Thái Nguyên 5/2009

"áp dụng đa thức đối xứng hai biến vào việc giải một số loại toán giúp học sinh hình thành phương pháp, định hướng được cách giải"
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong quá trình dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán ở cấp THCS ta gặp rất nhiều đề bài toán hoặc ở dạng trực tiếp hoặc ở dạng gián tiếp mới nhận ra đó là bài toán có liên quan đến đa thức đối xứng hai biến nếu dạy học sinh lời giải mỗi bài toán đơn lẻ, thì hiệu quả phát triển tư duy, trí tuệ, rất hạn chế và gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán cùng loại.

Việc dạy cho học sinh nắm được khái niÖm và những tính chất cơ bản của đa thức đối xứng hai biến. Rồi thông qua những ví dụ áp dụng đa thức đối xứng hai biến vào việc giải một số loại toán cơ bản giúp cho học sinh hình thành phương pháp, định hướng được cách giải và kết quả là giải được những bài toán có liên quan đến đa thức đối xứng hai biến.
B. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ ĐA THỨC ĐỐI XỨNG HAI BIẾN
1. Định nghĩa: Đa thức hai biến f(x; y) gọi là đối xứng nếu nó không thay đổi giá trị khi ta thay thế biến x; y cho nhau.

Ví dụ: x2 y3 + y 2 x3

Đa thức: S1 = x + y ; P1 = x.y là hai đa thức đối xứng đơn giản nhất, gọi là những đa thức đối xứng cơ bản.
* Đa thức đối xứng tổng luỹ thừa có dạng:
Sn = xn + yn (n  N)
* Đa thức đối xứng tích luỹ thừa có dạng:
Pn = xn .yn (n  N)
2. Nhận xét:
* Nhận xét 1: Mọi đa thức tổng luỹ thừa đều có thể viết dưới dạng một đa thức của S1 và P1.
Ví dụ:
x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = S12 – 2P1
x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = S13 – 3S1P1
x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (S12 – 2P1)2 – 2P12
* Nhận xét 2: Mọi đa thức đối xứng đều viết được về đa thức của tổng luỹ thừa và tích luỹ thừa nên luôn viết được về đa thức của S1 và P1.

Ví dụ:
f(x ; y) = x5 + 3x3y2 – x3y3 + 3x2y3 + y5
= x5 + y5 + 3x2y2(x+y) – x3y3
= (x+y)5 – 5(x+y)3.xy+5(x+y).x2y2 + 3x2y2 (x+y) – x3y3
= S15 – 5S13.P1 + 5S1P12 + 3P12.S1 – P13
* Nhận xét 3:
Để tồn tại x ; y  R và x+y = S1; xy = P1 thì S12  4P1.

* Nhận xét 4:
Do: S1.Sn = (x + y) (xn + yn) = xn+1+yn+1 + xy(xn-1 + yn-1) = Sn + 1+ P1.Sn-1
Nên Sn + 1 = S1Sn – P1 Sn-1 (1)

Ta cũng có: với m > n
Sm+n = xm+n + ym+n = (xm + ym)(xn + yn) – xnyn(xm-n + ym-n)
= S m.Sn – Pn.Sm-n
Sm+n = Sm.Sn – Pn.Sm-n (2)
C. ÁP DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ.


1. Một số bài tập về tính toán.
Bài 1.

Cho x +1/x = a tính M = x13 + 1/x13
(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thái Nguyên lớp 8 năm 1997-1998)
Phân tích: Ta hiểu M là đa thức đối xứng của biến x và 1/x thì bài toán được giải dễ ràng vì x +1x = a và x.1/x= 1.
Giải
Bài 7

Cho x2 + x + 1 = 0

Tính M = ( x + 1/x )2 + (x2 + 1/x2)2 +

(x3 + 1/x3)2 + . . . . + (x27 + 1 /x 27)2
Giải

Từ x2 + x + 1 = 0 nên x + 1/x = -1
và (x– 1) (x2 + x + 1 ) = 0  x 3 – 1 = 0
 x 3 = 1

do x + 1/x = -1 nờn x2 + 1/x2
= (x + 1/x )2 - 2x.1/x = -1
T? dú
M = (-1)2 + (-1)2 +( 2)2 + (-1)2 + (-1)2 +( 2)2 + ......+(-1)2 + (-1)2 +( 2)2 = 54
2. Phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thức: x4 – 5x3 – 15x + 9 thành nhân tử
Bài 8:
Phân tích P = 10x4 – 27x3y – 110x2y2 - 27xy3 + 10y4 thành nhân tử
Bài 9:
Phân tích đa thức thành nhân tử.
F( x,y) = x3 +3x3y +2x2y+3x2y2+2xy2 + 3xy3 + y3
Bài 10:
Giai

Có F( x,y) = (x3 + y3) + 3xy (x2 + y2)
+ 2xy (x + y) +3x2y2
= (x + y)3 - 3xy(x + y) + 3xy[ (x + y)2 - 2xy] + 2xy(x + y) + 3x2 y2
= (x + y)3 - 3xy(x + y) +3xy (x + y)2 - 6x2 y2 + 2xy(x + y) + 3x2 y2
= (x + y)3 - xy(x + y) +3xy (x + y)2 - 3x2 y2
= (x + y)[ (x + y)2 - xy] + 3xy[ (x + y)2 - xy]
= (x2 + y2 + xy)(x + y + 3xy).
Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức
Bài 11:
Với y = 0 có A = 1


y  0 có:
Giải:
3. Giải hệ phương trình đối xứng 2 biến và PT bâc hai.
Bài 12:
Giải hệ
Phân tích:

x5 + y5 là đa thức đối xứng luỹ thừa ta biến
đổi để có đa thức của biến S1 và P1 do biết
S1 = 3 dùng phương pháp thế ta sẽ tính
được P1 do biết S1 và P1 rễ ràng tính được x
và y.
Cho x1,x2 là nghiệm phương trỡnh x2 - 2x - 2 = 0. Tính x17+ x27
Bài 13
ĐÆt Sn = x1n +x2n ta cã S1 = 2 , P1 = - 2 ; S2 = S 12 – 2 P1 = 8

nªn theo c«ng thøc Sn+2 = S1 Sn+1 - P1 Sn ta cã S3 = 20; S4=56

Tõ c«ng thøc S m+n = S mSn – Pn . S m-n ( m >= n )

Cã S7 = S4 . S3 – P3 .S1 = 56 . 20 – (-2)3 .2 = 1136
Giải
Cho x1, x2 là nghiệm phương trỡnh x2 - 6x + 1 = 0

chứng minh rằng Sn = x1n + x2n ( n ? N) là số

nguyên không chia hết cho 5.
Bài 14
a) Ta chứng minh Sn ? Z bằng phương pháp quy nạp.

V?i n = 0 có S0 = 2 ? Z

V?i n = 1 có S1 = 6 ? Z

Gi? sử S k và S k+1 ? Z ( k? N) ta cần chứng minh Sk+2 ? Z.

Thật vậy do S1 = 6 , P1 = 1 mà Sk+2 = S1 Sk+1 - P1Sk

Hay Sk+2 = 6 Sk+1 - Sk vậy S k+2 ? Z..
Giải
b) Từ kết qu? Sk+2 = 6 Sk+1 - Sk mà Sk+1 = 6 Sk - Sk- 1

nên Sk+2 = 6 (6Sk - Sk- 1) - Sk = 35S k -5 S k - 1- S k-1

do đó Sk+2 chia hết cho 5 khi và chỉ khi S k-1 chia hết cho 5

mà S0 = 2 ; S1 = 6 ; S2 = 34 nên Sn không chia hết cho 5.
Cho phương trỡnh x2 + 5(m2 + 1)x+1 = 0 ( m ? Z )

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

b) Chứng minh rằng Sn = x1n +x2n ( n ? N) là số nguyên.

c) Tỡm dư của phép chia S2008 cho5.
Bài 15:
Gi?i bỡnh thường

b) Có S1 = - 5(m2 + 1); P1 = 1; S2 = 25( m2 + 1)2; Sn = Sn - 1 - Sn - 2 do S1, Sư2 ? Z nên Sn ? Z

c) Từ Sn = Sn - 1 - Sn - 2 do S1 , S2 chia hết cho 5 nên Sn chia hết cho 5 Vậy dư của phép chia S2008 cho 5 là 0
Giải
5. Giải phương trình căn thức và phương trình bậc cao.
Giải phương trình
Bài 16:
Giải phương trình: (x2 + 1)3 + (x2 – 1)3 = 2
Bài 17:
6. Một số bài toán về tìm tòi.
Giải
Giải
Bài 18:
7: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình đối xứng
Bài 20:
Tìm các số nguyên dương thoả mãn phương trình: x3 + y3 + 1 = 3xy
8. Chứng minh hằng đẳng thức
Bài 21
Cho x + y = 1, x3 + y3 = a, x5 + y5 = b.
Chứng minh rằng: 5a (a + 1) = 9b + 1
Ta có x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y). Nên xy = ( 1 - a )/3
Do đó x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 1 - 2( 1 - a )/3 = (1 +2 a)/3
Vì x5 + y5 = (x3 + y3)( x2 + y2) - x2 .y2(x + y)
Nên b = a (1 +2 a)/3. -
hay 5a (a + 1) = 9b + 1.
Giải
9. Chứng minh b?t đẳng thức

* Nh?n xột : Do bi?u th?c d?i x?ng luụn vi?t du?c v? bi?u th?c c?a S1 v� P1 v� S12 ? 4P1; nờn n?u ta d?t S12 - 4P1 = t thỡ t ? 0. T? dú rỳt S1 theo t v� P1 hay P1 theo t v� S1 v?i chỳ ý t ? 0. d? kh? bi?n t ta du?c bi?u th?c 1 bi?n vi?c ch?ng minh r? r�ng hon.
Bài 22

Víi mọi số thực a, b chứng minh
a2 + b2 + 1  ab + a + b
Cho 2 số a, b thoa mãn a + b  2
Chứng minh a3 + b3  a2 + b2
Bài 23
D. BÀI TẬP VẬN DỤNG